trong không gian oxyz, cho mp (a) đi qua điểm M(1;1;1)và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,B,C,(khác gốc tọa độ O) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất . mp (a) có pt là

Đáp án:

$(\alpha): x + y + z - 3 = 0$

Giải thích các bước giải:

Gọi $A(a;0;0);\, B(0;b;0);\, C(0;0;c)$ lần lượt là giao điểm của $(\alpha)$ và $Ox,\, Oy,\, Oz$

Khi đó, phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ theo đoạn chắn có dạng:

$(\alpha): \dfrac xa +\dfrac yb +\dfrac zc = 1$

Do $(\alpha)$ đi qua $M(1;1;1)$

nên $a;\, b;\, c > 0$

Ta được:

$\quad \dfrac1a +\dfrac1b +\dfrac1c \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}$

$\to 1 \geq \dfrac{27}{abc}$

$\to abc\geq 27$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 3$

Mặt khác:

$\quad V_{OABC}=\dfrac13S_{OAB}.OC$

$\to V_{OABC}=\dfrac16abc$

$\to V_{OABC}\geq \dfrac16\cdot 27=\dfrac{9}{2}$

Ta lại có:

$\quad V_{OABC\, \min}$

$\to V_{OABC}= \dfrac92$

$\to a = b = c = 3$

Do đó: $(\alpha):\dfrac x3 +\dfrac y3 +\dfrac z3 = 1$

Hay $(\alpha): x + y + z - 3 = 0$