Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3;2;1) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O) sao cho tam giác ABC đều. Số mặt phẳng (P) thỏa mãn bài toán là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Đáp án:

$A.\ 1$

Giải thích các bước giải:

Gọi $A(a;0;0),\ B(0;b;0),\ C(0;0;c)$ lần lượt là giao điểm của $(P)$ và $Ox,\ Oy,\ Oz$

Khi đó, phương trình mặt phẳng $(P)$ theo đoạn chắn có dạng:

$\dfrac{x}{a} +\dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c}=1$

Ta lại có:

$OA,\ OB,\ OC$ đôi một vuông góc

$AB = BC = CA\quad (∆ABC$ đều$)$

$\Rightarrow OA = OB = OC$

$\Rightarrow a = b = c$

Mặt khác: $M(3;2;1)\in (P)$

Ta được:

$\dfrac{3}{a} +\dfrac2a + \dfrac1a = 1 \Leftrightarrow \dfrac6a = 1\Leftrightarrow a = 6$

$\Rightarrow A(6;0;0),\ B(0;6;0),\ C(0;0;6)$

$\Rightarrow$ có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua 4 điểm $A,\ B,\ C,\ M$ thoả mãn bài toán