trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) 3x-3y+z-2=0, đường thẳng d: (x-1)/2=y/1=(z-2)/2 và 2 điểm A(1;1;-2) , B(2;1;0). Tìm C sao cho AC song song với đường thẳng d và trọng tâm tam giác ABC thuộc (P)

Đáp án:

$C\left(\dfrac{19}{5};\dfrac{12}{5};\dfrac{4}{5}\right)$ 

Giải thích các bước giải:

Đặt $C(x;y;z)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC} = (x-1;y-1;z+2)$

Ta có: $AC// d$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC}$ cùng phương $\overrightarrow{u_d} = (2;1;2)$

$\Rightarrow \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z+2}{2}$

$\Rightarrow \begin{cases}x= z + 3\\y= \dfrac{z + 4}{2}\end{cases}$

Gọi $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$

$\Rightarrow G\left(\dfrac{x+3}{3};\dfrac{y+2}{3};\dfrac{z-2}{3}\right)$

Ta có: $G\in (P)$

$\Rightarrow 3\cdot \dfrac{x+3}{3} - 3\cdot \dfrac{y+2}{3} + \dfrac{z-2}{3} - 2 = 0$

$\Rightarrow x- y + \dfrac{z-2}{3} -1 = 0$

$\Rightarrow z + 3 - \dfrac{z+4}{2} + \dfrac{z-2}{3} - 1 = 0$

$\Rightarrow 5z - 4 =0$

$\Rightarrow z = \dfrac45$

$\Rightarrow \begin{cases}y = \dfrac{12}{5}\\x = \dfrac{19}{5}\end{cases}$

Vậy $C\left(\dfrac{19}{5};\dfrac{12}{5};\dfrac{4}{5}\right)$