Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(1; 1; 0). Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D.

Đáp án:

$x^2 + y^2 + z^2 – x – y – z = 0$

Giải thích các bước giải:

Phương trình mặt cầu (S) có dạng $x^2 + y^2 + z^2 –2ax – 2by – 2cz + d=0 (*)$
Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào (*) ta có:
${\left\{\begin{aligned}1-2a+d=0\\1-2b+d=0\\ 1-2c+d=0\\ 2-2a-2b+d=0 \end{aligned}\right.}\\
\Leftrightarrow {\left\{\begin{aligned}d=2a-1\\-2a+2b=0\\ -2a+2c=0\\ 2-2a-2b+d=0 \end{aligned}\right.}\\
\Leftrightarrow {\left\{\begin{aligned}d=2a-1\\a=b\\ a=c\\ 2-2a-2a+2a-1=0 \end{aligned}\right.}\\
\Leftrightarrow {\left\{\begin{aligned}d=2a-1\\a=b\\ a=c\\ 1-2a=0 \end{aligned}\right.}\\
\Leftrightarrow {\left\{\begin{aligned}d=2a-1\\a=b\\ a=c\\ a=\frac{1}{2} \end{aligned}\right.}\\
\Leftrightarrow {\left\{\begin{aligned}a=\frac{1}{2}\\b=\frac{1}{2}\\ c=\frac{1}{2}\\ d=0 \end{aligned}\right.}$
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: $x^2 + y^2 + z^2 – x – y – z = 0$