Trong không gian Oxyz cho A(0 ; -2 ; -2), B (4; -4 ; 2), C (2; -3 ; 3). Tìm tọa độ M (a;b;c) trên mặt phẳng (Oxz) sao cho biểu thức MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị biểu thức P = a^2 + b^2 + c^2 bằng? Ai giúp tớ vớiiiii Sao tính ra vô nghiệm a,c kì quá :(

Đáp án: P=5

Giải thích các bước giải:

 Vì M thuộc mp (Oxz) nên b=0

Nên ta có:

$\begin{array}{l}
M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\\
 = {a^2} + 4 + {\left( {c + 2} \right)^2} + {\left( {a - 4} \right)^2} + 16 + {\left( {c - 2} \right)^2}\\
 + {\left( {a - 2} \right)^2} + 9 + {\left( {c - 3} \right)^2}\\
 = 3{a^2} - 12a + 3{c^2} - 6c + 54\\
 = 3\left( {{a^2} - 4a + 4} \right) + 3\left( {{c^2} - 2.c + 1} \right) + 39\\
 = 3{\left( {a - 2} \right)^2} + 3{\left( {c - 1} \right)^2} + 39 \ge 39\\
 \Rightarrow GTNN:M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 39\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
c = 1
\end{array} \right.\\
P = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 5
\end{array}$