Trong không gian O x y z , cho điểm A ( 0 ; 1 ; 9 ) và mặt cầu ( S ) : ( x − 3 ) 2 + ( y − 4 ) 2 + ( z − 4 ) 2 = 25. Gọi ( C ) là giao tuyến của ( S ) và mặt phẳng ( O x y ) . Lấy hai điểm M, N trên ( C ) sao cho M N = 2 √ 5 . Khi tứ diện OAMN có thể tích lớn nhất thì đường thẳng MN đi qua điểm nào dưới đây?

Đáp án:

$\left(\dfrac{49}{5};\dfrac75;0\right)$ hoặc $(5;5;0)$

Giải thích các bước giải:

$(S)$ có tâm $I(3;4;4);\ R = 5$

Ta có:

$\quad V_{OAMN}=\dfrac13S_{OMN}.d(A;(OMN))$

$\Leftrightarrow V_{A.OMN}= \dfrac13S_{OMN}.d(A;(Oxy))$

$\Leftrightarrow V =\dfrac13S_{OMN}.9 = 3S_{OMN}$

Khi đó:

$\quad V_{\max}\Leftrightarrow S_{OMN\ \max}$

$\Leftrightarrow d(O;MN)_{\max}$

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên $(Oxy)$

$\Rightarrow \begin{cases}H(3;4;0) \ \text{là tâm của $(C)$}\\IH = d(I;(Oxy))= 4\end{cases}$

$\Rightarrow HM = \sqrt{IM^2 - IH^2}=\sqrt{25 - 16}= 3$

Gọi $K$ là trung điểm $MN$

$\Rightarrow \begin{cases}HK\perp MN\ \ \text{(mối quan hệ đường kính - dây cung)} \\KM = KN = \sqrt5\end{cases}$

$\Rightarrow HK=\sqrt{HM^2 - KM^2}=\sqrt{9 - 5} = 2$

Lại có: $OH= 5$

$\Rightarrow OH = \dfrac52HK$

Do $d(O;MN)_{\max}$

nên $d(O;MN)= OK$ (mối quan hệ đường vuông góc - đường xiên)

$\Rightarrow O, H, K$ thẳng hàng

$\Rightarrow \overrightarrow{OH}=\dfrac52\overrightarrow{HK}$

Gọi $K(a;b;c)$

$\Rightarrow \overrightarrow{HK}= (a-3;b-4;c)$

Khi đó:

$\quad \overrightarrow{OH}=\dfrac52\overrightarrow{HK}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}3 = \dfrac52(a-3)\\4 = \dfrac52(b-4)\\0 = \dfrac52c\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}a = \dfrac{21}{5}\\b = \dfrac{28}{5}\\c = 0\end{cases}$

$\Rightarrow K\left(\dfrac{21}{5};\dfrac{28}{5};0\right)$

Mặt khác:

$\overrightarrow{u_{MN}}= \left[\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{j}\right]= (4;-3;0)$

Do đó phương trình $MN$ có dạng:

$\begin{cases}x = \dfrac{21}{5} + 4t\\y = \dfrac{28}{5} - 3t\\z = 0\end{cases}\quad (t\in\Bbb R)$

Với $t = 1,4$ ta được:

$\begin{cases}x = \dfrac{49}{5}\\y = \dfrac75\\z = 0\end{cases}$

Với $t = 0,2$ ta được:

$\begin{cases}x = 5\\y = 5\\z = 0\end{cases}$

Vậy $MN$ đi qua $\left(\dfrac{49}{5};\dfrac75;0\right)$ hoặc $(5;5;0)$