Trong không gian hệ trục $Oxyz$ cho tam giác $ABC$ có $A(1;0;-1),B(2;3;-1),C(-2;1;1)$. Phương trình đường thẳng đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ là:

Đáp án:

$\Delta:\begin{cases}x = 3t\\y = 2 - t\\z = 5t\end{cases}\quad (t\in\Bbb R)$

Giải thích các bước giải:

$A(1;0;-1)$

$B(2;3;-1)$

$C(-2;1;1)$

$\Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{AB}= (1;3;0)\\\overrightarrow{AC}= (-3;1;2)\\\overrightarrow{BC}= (-4;-2;2)\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}AB = \sqrt{10}\\AC =\sqrt{14}\\BC =\sqrt{24}\end{cases}$

Nhận thấy $BC^2 = AB^2 + AC^2$

$\Rightarrow \triangle ABC$ vuông tại $A$ (Theo định lý Pytago đảo)

$\Rightarrow$ Tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$ là trung điểm $BC$

Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$

$\Rightarrow I(0;2;0)$

Mặt khác:

$\overrightarrow{AB};\ \overrightarrow{AC}$ là $VTCP$ của $(ABC)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right]= (3;-1;5)$ là $VTPT$ của $(ABC)$

Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm

$\Rightarrow \Delta\perp (ABC)$

$\Rightarrow\Delta$ nhận $\overrightarrow{n}$ làm $VTCP$

Khi đó, $\Delta$ có dạng:

$\Delta:\begin{cases}x = 3t\\y = 2 - t\\z = 5t\end{cases}\quad (t\in\Bbb R)$