Toán 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính chiều cao của tứ diện SACD xuất phát từ đỉnh C.
1 câu trả lời
Đáp án:
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Giải thích các bước giải: Gọi H là hình chiếu của S lên AB thì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) Kẻ \(HK \bot SA\) thì do \(AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AD \bot HK\) nên \(HK \bot \left( {SAD} \right)\). Ta thấy, \(BC//\left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SAD} \right)} \right)\) Mà \(BH \cap AD = A,BA = 2HA\) nên \(d\left( {B,\left( {SAD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SAD} \right)} \right) = 2HK\) Ta có: \(\begin{array}{l}\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{A^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{HS.HA}}{{\sqrt {S{H^2} + H{A^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}}}{{\sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\\ \Rightarrow d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right) = 2HK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)