tính tích phân từ 0 đến vô cùng của 1/(2x+1)^3 . mn giúp e với ạ

`I=int _0^{+\infty \:}\frac{1}{(2x+1)^3}dx`

Đặt `u=2x+1 => du=2dx=>dx=(du0/2`, khi đó:

`I=1/2 int_1^{+∞} 1/{u^3} du`

`=lim_(b->+oo) (-1/(4 u^2))|_1^b`$\\$`=lim_(b->+oo)[-(1)/(4 b^(2)) +(1)/(4*1^(2))]`$\\$`=0+1/4`$\\$`=1/4`$\\$Vậy `I=1/4`

 

Đáp án:

$\displaystyle\int\limits_0^{\infty}\dfrac{1}{(2x+1)^3}dx=\dfrac14$

Giải thích các bước giải:

$\quad I = \displaystyle\int\limits_0^{\infty}\dfrac{1}{(2x+1)^3}dx$

Đặt $u = 2x + 1$

$\Rightarrow du = 2dx$

Ta được:

$\quad I = \dfrac12\displaystyle\int\limits_1^{\infty}\dfrac{1}{u^3}du$

$\Leftrightarrow I = \dfrac12\lim\limits_{t\to \infty}\displaystyle\int\limits_1^t\dfrac{1}{u^3}du$

$\Leftrightarrow I = \dfrac12\lim\limits_{t\to \infty}\left(-\dfrac{1}{2u^2}\right)\Bigg|_1^t$

$\Leftrightarrow I = \dfrac12\left[\lim\limits_{t\to \infty}\left(-\dfrac{1}{2t^2}\right)- \lim\limits_{t\to \infty}\left(-\dfrac12\right)\right]$

$\Leftrightarrow I = \dfrac12\left(0+\dfrac12\right)$

$\Leftrightarrow I = \dfrac14$