tính nguyên hàm sau: 2x. ln(x-1)dx Giúp Mình với. Cảm ơn nhìu.

$I=\displaystyle\int 2x\ln(x-1)dx$

Đặt $\begin{cases} u=2\ln(x-1)\\ dv=xdx\end{cases}$

$\to \begin{cases} du=\dfrac{2dx}{x-1}\\ v=x-1\end{cases}$

$I=uv-\displaystyle\int vdu$

$=2(x-1)\ln(x-1)-\displaystyle\int 2dx$

$=(x-1)\ln(x-1)-2x+C$

Đáp án:

\[I = \int {2x.\ln \left( {x - 1} \right)dx}  = \left( {{x^2} - 1} \right)\ln \left( {x - 1} \right) - \frac{{{x^2}}}{2} - x\]

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
I = \int {2x.\ln \left( {x - 1} \right)dx} \\
\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln \left( {x - 1} \right)\\
v' = 2x
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u' = \frac{1}{{x - 1}}\\
v = {x^2}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow I = {x^2}.\ln \left( {x - 1} \right) - \int {\frac{1}{{x - 1}}.{x^2}dx} \\
 = {x^2}\ln \left( {x - 1} \right) - \int {\frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) + 1}}{{x - 1}}dx} \\
 = {x^2}\ln \left( {x - 1} \right) - \int {\left( {x + 1 + \frac{1}{{x - 1}}} \right)dx} \\
 = {x^2}\ln \left( {x - 1} \right) - \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x + \ln \left( {x - 1} \right)} \right)\\
 = \left( {{x^2} - 1} \right)\ln \left( {x - 1} \right) - \frac{{{x^2}}}{2} - x
\end{array}\)