Tính nguyên hàm của hàm số 2/(e^x + e^-x)^2

Đáp án:

\[\int {\frac{2}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}^2}}}dx}  = \frac{{ - 1}}{{{e^{2x}} + 1}} + C\]

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
I = \int {\frac{2}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}^2}}}dx} \\
 = \int {\frac{2}{{{e^{2x}} + 2.{e^x}.{e^{ - x}} + {e^{ - 2x}}}}dx} \\
 = \int {\frac{2}{{{e^{2x}} + 2 + {e^{ - 2x}}}}dx} \\
 = \int {\frac{{2{e^{2x}}}}{{{e^{4x}} + 2{e^{2x}} + 1}}dx} \\
t = {e^{2x}} \Rightarrow dt = \left( {2x} \right)'.{e^{2x}}dx = 2{e^{2x}}dx\\
 \Rightarrow I = \int {\frac{{dt}}{{{t^2} + 2t + 1}}}  = \int {\frac{{dt}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}}  = \frac{{ - 1}}{{t + 1}} + C = \frac{{ - 1}}{{{e^{2x}} + 1}} + C
\end{array}\)