Tính nguyên hàm của : $\int\limits {\frac{1}{\sqrt[]{1+x^2}}} \, dx$
2 câu trả lời
Đáp án:
Đặt $x= \cot(\alpha)$
$=>d(x) = -\frac{d(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}$
$=>\int\limits {\frac{1}{\sqrt[]{1+x^2} } } \, dx = \int\limits {\frac{-d(\alpha)}{\sin^2(\alpha).\sqrt[]{1+\tan^2(\alpha)}} } \, dx$
$ =-\int\limits {\frac{d(\alpha)}{\sin(\alpha)} } \, dx$
$=-\ln | \tan(\frac{\alpha}{2}) | + C$
$=-\ln | \tan(\frac{\arccot(x)}{2}) | +C$
Đáp án:
\(\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\ln\left|x + \sqrt{x^2 + 1}\right| + C\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
\quad I = \displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx\\
\text{Đặt}\ x = \tan u\Rightarrow u = \arctan x\\
\Rightarrow dx = \dfrac{1}{\cos^2u}du\\
\text{Ta được:}\\
\quad I = \displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{1 + \tan^2u}}\cdot \dfrac{1}{\cos^2u}du\\
\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\dfrac{1}{\cos u}du\\
\Leftrightarrow I = \ln\left|\tan u + \dfrac{1}{\cos u}\right| + C\\
\Leftrightarrow I = \ln\left|\tan(\arctan x) + \dfrac{1}{\cos(\arctan x)}\right| + C\\
\Leftrightarrow I = \ln\left|x + \sqrt{x^2 + 1}\right| + C
\end{array}\)
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm
