Tính nguyên hàm: \(\int {\frac{{{{\cos }^3}x}}{{\sin x + \cos x}}dx} \)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Đặt $ I = \int\limits{\dfrac{cos³x}{cosx + sinx}} \, dx; J = \int\limits{\dfrac{sin³x}{cosx + sinx}} \, dx$

Ta có :

$I + J = \int\limits{\dfrac{cos³x + sin³x}{cosx + sinx}} \, dx = \int\limits{(1 - sinxcosx)} \, dx = x + \dfrac{1}{4}cos2x + C_{1} (1)$ 

$I - J = \int\limits{\dfrac{cos³x - sin³x}{cosx + sinx}} \, dx = \int\limits{\dfrac{cosx - sin²x(cosx + sinx)}{cosx + sinx}} \, dx $ 

$ = \int\limits{\dfrac{cosx}{cosx + sinx}} \, dx - \int\limits{sin²x} \, dx = \dfrac{1}{2}\int\limits{(\dfrac{cosx - sinx}{cosx + sinx} + 1)} \, dx - \int\limits{\dfrac{(1 - cos2x)}{2}} \, dx $

$ = \dfrac{1}{2}ln|cosx + sinx| + \dfrac{1}{4}sin2x + C_{2} (2)$

$ (1) + (2) : 2I = x + \dfrac{1}{2}ln|cosx + sinx| + \dfrac{1}{4}(sin2x + cos2x) + C_{1} + C_{2}$

$ ⇒ I = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}ln|cosx + sinx| + \dfrac{1}{8}(sin2x + cos2x) + C$