Tính góc giữa mặt phẳng đi qua 3 điểm (4; -4; 4), (0; 0; 0), (0; 5; 0) và đường thẳng $\left\{\begin{array}{l}x=t\\y=t\\z=0\end{array}\right.$

Đáp án:

$\arcsin\dfrac12$

Giải thích các bước giải:

Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A(4;-4;4),\ O(0;0;0),\ B(0;5;0)$

$\Delta:\begin{cases}x= t\\y= t\\z = 0\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{OA}= (4;-4;4)\\\overrightarrow{OB}=(0;5;0)\end{cases}$ là $VTCP$ của $(P)$

$\Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{u}= (1;-1;1)\\\overrightarrow{j}=(0;1;0)\end{cases}$ là $VTCP$ của $(P)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}\right]= (-1;0;1)$ là $VTPT$ của $(P)$

Trong khi đó: $\overrightarrow{u'}=(1;1;0)$ là $VTCP$ của $\Delta$

Gọi $\alpha$ là góc giữa $(P)$ và $\Delta$, ta được:

$\quad\sin\alpha = \dfrac{\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u'}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{u'}\right|}$

$\Leftrightarrow \sin\alpha =\dfrac{|(-1).1 + 0.1 + 1.0|}{\sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2}.\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}}$

$\Leftrightarrow \sin\alpha = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow\alpha = \arcsin\dfrac12$

Vậy góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cần tìm là $\arcsin\dfrac12$