Tính giá trị của biểu thức sau(phân tích trực tiếp): $\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+...}}}}}$ (Từ Srinivasa Ramanujan)

Đáp án:

$3$

Giải thích các bước giải:

Xét $A = \sqrt{1 + n\sqrt{(n +2)^2}}$

Ta có:

$A = \sqrt{1 + n\sqrt{n^2 + 4n + 4}}$

$=\sqrt{1 + n\sqrt{1 + n^2 + 4n + 3}}$

$= \sqrt{1 + n\sqrt{1 + (n+1)(n +3)}}$

$= \sqrt{1 + n\sqrt{1 + (n+1)\sqrt{(n+3)^2}}}$

$\cdots$

Xét $\sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 +\dots}}}}$

$\Rightarrow n = 2$

$\Rightarrow \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 +\dots}}}} = \sqrt{1 + 2\sqrt{(2 + 2)^2}} = 3$

Thử lại:

$3 = \sqrt{9} =\sqrt{1 + 8}$

$= \sqrt{1 + 2.4}$

$= \sqrt{1 + 2\sqrt{16}}$

$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 15}}$

$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3.5}}$

$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{25}}}$

$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 24}}}$

$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4.6}}}$

$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4.\sqrt{36}}}}$

$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 35}}}}$

$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5.7}}}}$

$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{49}}}}}$

$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1 + 48}}}}}$

$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1 + 6.8}}}}}$

$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1 + 6\sqrt{64}}}}}}$

$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1 + 6\sqrt{1 + 63}}}}}}$

$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1 + 6\sqrt{1 + 7.9}}}}}}$

$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1 + 6\sqrt{1 + 7\sqrt{81}}}}}}}$

$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1 + 6\sqrt{1 + 7\sqrt{1 + 80}}}}}}}$

$\dots$

$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1 + 6\sqrt{1 + 7\sqrt{1 + \sqrt{1 + 8\sqrt{1 + 9\sqrt{1 + 10\sqrt{1 +\dots}}}}}}}}}}}$