Tính các khoảng đơn điệu của hàm số: y = x + $\sqrt{1-x^{2}}$

Giải thích các bước giải:

 `y=x+\sqrt{1-x^2}`

TXD: `D=[-1;1]`

`y'=1+((1-x^2)')/(2.\sqrt{1-x^2})`

`=1+(-2x)/(2.\sqrt{1-x^2})`

`=1-(x)/(\sqrt{1-x^2})=(\sqrt{1-x^2}-x)/(\sqrt{1-x^2})`

`y'=0<=>\sqrt{1-x^2}-x=0<=>\sqrt{1-x^2}=x`

`<=>`$\begin{cases} x≥0\\1-x^2=x^2 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} x≥0\\2x^2=1 \end{cases}$`<=>`$\begin{cases} x≥0\\\left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(tmđk)\\x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}(loại)\end{array} \right.  \end{cases}$

Bảng biến thiên:

\begin{array}{|c|c c|}\hline \text{x}&\text{-$\infty$ }&\text{-1}&\text{$\\\dfrac{\sqrt{2}}{2}$}&\text{1}&\text{+$\infty$}\\\hline \text{y'}&\text{/////}&\text{||}&\text{+ 0 -}&\text{||}&\text{/////}\\\hline \text{}&\text{}&\text{}&\text{$\sqrt{2}$}\\ \text{y}&\text{/////}&\text{|}&\text{$\nearrow$ $$ $\searrow$}&\text{|}&\text{/////}\\\hline\end{array}

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng: `(-1;(\sqrt{2})/(2))`

Nghịch biến trên khoảng `((\sqrt{2})/(2);1)`