Tìm $x, y, z$ biết: $\sqrt[]{x-a}+\sqrt{y-b}+\sqrt{z-c}$ $=$ $\frac{1}{2} (x+y+z)$ trong đó $a+b+c=3$ *Không sử dụng BĐT Cosi

Đáp án và giải thích các bước giải:

Điều kiện : `x≥a;y≥b;z≥c`

`\sqrt[x-a]+\sqrt[y-b]+\sqrt[z-c]=1/2(x+y+z)`

`⇔` `(\sqrt[x-a]+\sqrt[y-b]+\sqrt[z-c]):1/2=x+y+z`

`⇔` `(\sqrt[x-a]+\sqrt[y-b]+\sqrt[z-c]).2=x+y+z`

`⇔` `2\sqrt[x-a]+2\sqrt[y-b]+2\sqrt[z-c]=x+y+z`

`⇔` `-x-y-z+2\sqrt[x-a]+2\sqrt[y-b]+2\sqrt[z-c]=0`

`⇔` `x+y+z-2\sqrt[x-a]-2\sqrt[y-b]-2\sqrt[z-c]=0`

`⇔` `(x-a-2\sqrt[x-a]+1)+(y-b-2\sqrt[y-b]+1)+(z-c-2\sqrt[z-c]+1)=0`

`⇔` `(\sqrt[x-a]-1)^2+(\sqrt[y-b]-1)^2+(\sqrt[z-c]-1)^2=0`

Nhận xét :

`(\sqrt[x-a]-1)^2≥0`$∀x,a∈\mathbb{R}$

`(\sqrt[y-b]-1)^2≥0`$∀y,b∈\mathbb{R}$

`(\sqrt[z-c]-1)^2≥0`$∀z,c∈\mathbb{R}$

`⇒` `(\sqrt[x-a]-1)^2+(\sqrt[y-b]-1)^2+(\sqrt[z-c]-1)^2≥0`

Dấu `=` xảy ra 

`⇔` `\sqrt[x-a]-1=0` ; `\sqrt[y-b]-1=0` ; `\sqrt[z-c]-1=0`

`⇔` `x-a=1` ; `y-b=1` ; `z-c=1`

`⇔` `x=a+1` ; `y=b+1` ; `z=c+1`