Tìm tổng tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2 x3 + 3 ( m - 1 ) x2 + 6 m ( 1 - 2 m ) x song song đường thẳng y= -4x. ² ² ² ²

Đáp án:

$m = -\dfrac13$ 

Giải thích các bước giải:

$\quad y = 2x^3 + 3(m-1)x^2 + 6m(1-2m)x$

$\Rightarrow y' = 6x^2 + 6(m-1)x + 6m(1-2m)$

Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow \Delta_{y'} >0$

$\Leftrightarrow 9(m-1)^2 - 36m(1-2m) >0$

$\Leftrightarrow 9m^2 -6m + 1 >0$

$\Leftrightarrow (3m - 1)^2 >0$

$\Leftrightarrow m\ne \dfrac13$

Ta có:

$\quad y = y'\cdot \left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{m-1}{6}\right) - (3m-1)^2x + m(m-1)(1-2m)$

$\Rightarrow \ d: y = - (3m-1)^2x + m(m-1)(1-2m)$ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Theo đề ta có:

$\quad d//d': y = -4x$

$\Leftrightarrow \begin{cases}-(3m-1)^2 = -4\\m(m-1)(1-2m)\ne 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}|3m - 1| = 2\\m\ne 0\\m\ne 1\\m \ne \dfrac12\end{cases}$

$\Leftrightarrow m = -\dfrac13$ (nhận)

Vậy $m = -\dfrac13$