Tìm tất cả giá trị thực của m để hs y= 1/3x^3 -1/2mx^2+2mx-3m+4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3

$y'=x^2-mx+2m$

Yêu cầu bài toán tương đương hàm số y' có $2$ nghiệm phân biệt và cách nhau một đoạn có độ dài là $3$

$↔ \left\{ \begin{array}{l}Δ>0\\|x_{1}-x_{2}|=3\end{array} \right.$

$↔ \left\{ \begin{array}{l}m^2-8m>0\\(x_1-x_2)^2=9\end{array} \right.$

$↔ \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m<0\\m>8\end{array} \right.\\(x_1+x_2)^2-4x_1x_2-9=0\end{array} \right.$

$↔ \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m<0\\m>8\end{array} \right.\\m^2-4.2m-9=0\end{array} \right.$

$↔ \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m<0\\m>8\end{array} \right.\\m^2-8m-9=0\end{array} \right.$

$↔ \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m<0\\m>8\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m=-1\\m=9\end{array} \right.\end{array} \right.$

$↔ \left[ \begin{array}{l}m=-1\\m=9\end{array} \right.$ (thỏa mãn đề bài)

Đáp án:

$m = -1; \, m = 9$

Giải thích các bước giải:

$y = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}mx^2 + 2mx - 3m + 4$

$TXĐ: D = R$

$y' = x^2 - mx + 2m$

Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3:

$+)$ Hàm số có 2 điểm cực trị

$\Delta > 0 \Leftrightarrow  m^2 - 8m > 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m > 8\\m < 0\end{array}\right.$

$+)$ Với $x_1, \, x_2$ là hai cực trị, ta có: $|x_2 - x_1| = 3$

$\Leftrightarrow (x_2 - x_1)^2 = 9$

$\Leftrightarrow (x_2 + x_1)^2 - 4x_1x_2 - 9 = 0$ $(*)$

Áp dụng định lý Viète, ta được:

$\begin{cases}x_1 + x_2 = m\\x_1x_2 = 2m\end{cases}$

Thay vào $(*)$ ta được:

$m^2 - 8m - 9 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = -1 \\m = 9\end{array}\right. \quad (nhận)$

Vậy giá trị m cần tìm là $m = -1$ và $m = 9$