Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số f(x)= | x^3-mx^2+2m+1 | đồng biến trên khoảng (1;2)

Đáp án:

`-2\leqm\leq3/2`

Giải thích các bước giải:

Tập xác định: `D=R`

Ta có: `f'(x)=\frac{(x^3-mx^2+2m+1)(3x^2-2mx)}{| x^3-mx^2+2m+1 |}\geq0,∀x∈(1;2)`

TH1: ``$\begin{cases}g(x)=x^3-mx^2+2m+1\geq0 \\g'(x)=3x^2-2mx\geq0 \end{cases},∀x∈(1;2) (*)$

Do `g'(x)\geq0` nên hàm số `g(x)` đồng biến trên `(1;2)`

Vì vậy `g(x)\geq0 ⇔g(1)\geq0`

$(*)$ `⇔` $\begin{cases}g(1)=1^3-m.1^2+2m+1\geq0 \\3.1^2-2m\geq0 \end{cases},∀x∈(1;2)$

`⇔` $\begin{cases}m\geq-2 \\m\leq\frac{3}{2} \end{cases}$ `⇔ -2\leqm\leq3/2`

TH2: ``$\begin{cases}g(x)=x^3-mx^2+2m+1\leq0 \\g'(x)=3x^2-2mx\leq0 \end{cases},∀x∈(1;2) $

Xét `x_0=\sqrt[2]∈(1;2)` với `g(\sqrt[2])=2\sqrt[2]-2m+2m+1\leq0` `⇔ 2\sqrt[2]+1\leq0` (vô lý)

`\to` TH2 không thỏa mãn.

Vậy `-2\leqm\leq3/2`