Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y=x4(mũ 4) – 2mx2(mũ 2) + 2m -3 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giác vuông

Đáp án: $m = 1\,hoặc\,m = \,\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\,hoặc\,m = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}$

Giải thích các bước giải:

$\eqalign{   & y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m - 3  \cr    & y' = 4{x^3} - 4mx = 0  \cr    &  \Leftrightarrow 4x({x^2} - m) = 0  \cr    &  \Leftrightarrow x = 0\,hoặc\,{x^2} = m \cr} $

Để đths có 3 điểm cực trị thì pt y'=0 có 3 nghiệm phân biệt

<=> m>0

Khi đó pt có 3 nghiệm tương ứng với 3 cực trị

A(0,-3), B($\sqrt m ; - {m^2} + 2m - 3$), C(-$\sqrt m ; - {m^2} + 2m - 3$)

Vì tam giác ABC vuông tại A

 $\eqalign{   & \overrightarrow {AB}  = (\sqrt m , - {m^2} + 2m)  \cr    & \overrightarrow {AC}  = ( - \sqrt m , - {m^2} + 2m)  \cr    & \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0  \cr    &  \Leftrightarrow  - m + ( - {m^2} + 2m)( - {m^2} + 2m) = 0  \cr    &  \Leftrightarrow {m^4} - 4{m^3} + 4{m^2} - m = 0  \cr    &  \Leftrightarrow m(m - 1)({m^2} - 3m + 1) = 0  \cr    &  \Leftrightarrow m = 1\,hoặc\,m = \,\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\,hoặc\,m = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}(do\,m > 0) \cr} $