Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y=x4(mũ 4) – 2mx2(mũ 2) + 2m -3 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giác vuông

Đáp án:

\(m = 1\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m - 3\\y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\end{array}\)

Hàm số có ba điểm cực trị \( \Leftrightarrow m > 0\).

Khi đó đồ thị có điểm cực đại \(A\left( {0;2m - 3} \right)\) và các điểm cực tiểu \(B\left( {\sqrt m ; - {m^2} + 2m - 3} \right),C\left( { - \sqrt m ; - {m^2} + 2m - 3} \right)\)

Ba điểm \(A,B,C\) lập thành tam giác vuông thì \(AB \bot AC \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt m .\left( { - \sqrt m } \right) + \left( { - {m^2}} \right).\left( { - {m^2}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow  - m + {m^4} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\left( {\text{loại}} \right)\\m = 1\left( {\text{thỏa mãn}} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(m = 1\)