Tìm tất cả các số thực a,b sao cho hàm số f(x) = (ax + b).e^2x có 1 nguyên hàm là hàm số F(x) = (x-1)e^2x.

Đáp án:a=2;b=-1

Giải thích các bước giải:

Đặt u=ax+b=>du=adx

dv=$e^{2x}$dx =>v=$\frac{1}{2}$$e^{2x}$ 

∫(ax+b)$e^{2x}$ dx=$\frac{1}{2}$$e^{2x}$(ax+b)- ∫$\frac{a}{2}$$e^{2x}$dx

=$\frac{1}{2}$$e^{2x}$(ax+b) -$\frac{a}{4}$$e^{2x}$ +c

=$e^{2x}$( $\frac{ax}{2}$ +$\frac{b}{2}$ -$\frac{a}{4}$ )+c

Theo đề ta có $\frac{a}{2}$ =1 và $\frac{b}{2}$ -$\frac{a}{4}$=-1

suy ra a=2;b=-1

Đáp án:

\[\left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b =  - 1
\end{array} \right.\]

Giải thích các bước giải:

Hàm số \(f\left( x \right)\) có 1 nguyên hàm là hàm số \(F\left( x \right)\) nên \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
F\left( x \right) = \left( {x - 1} \right).{e^{2x}}\\
 \Rightarrow F'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)'.{e^{2x}} + \left( {x - 1} \right).\left( {{e^{2x}}} \right)'\\
 = 1.{e^{2x}} + \left( {x - 1} \right).\left( {2x} \right)'.{e^{2x}}\\
 = {e^{2x}} + 2\left( {x - 1} \right){e^{2x}}\\
 = \left( {2x - 1} \right).{e^{2x}}\\
F'\left( x \right) = f\left( x \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right).{e^{2x}} = \left( {ax + b} \right).{e^{2x}}\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b =  - 1
\end{array} \right.
\end{array}\)