tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=x^3-3(m+1)x^2-12mx -3m +4 có 2 điểm cực trị x1, x2 thõa mãn x1<3<x2

Đáp án:

$m > \dfrac{3}{10}$

Giải thích các bước giải:

$\quad y = x^3 - 3(m+1)x^2 - 12mx - 3m + 4$

$\Rightarrow y' = 3x^2 - 6(m+1)x - 12m$

Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow \Delta_{y'}' >0$

$\Leftrightarrow 9(m+1)^2 + 36m >0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m > -3 + 2\sqrt2\\m < -3 - 2\sqrt2\end{array}\right.\qquad (*)$

Khi đó, hai điểm cực trị $x_1,\ x_2$ là nghiệm của phương trình $y' = 0$

Áp dụng định lý Viète ta được:

$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2(m+1)\\x_1x_2 = -4m\end{cases}$

Ta có:

$\quad x_1 < 3 < x_2$

$\Leftrightarrow (x_1 - 3)(x_2 - 3) <0$

$\Leftrightarrow x_1x_2 - 3(x_1 + x_2) + 9 <0$

$\Leftrightarrow -4m - 6(m+1) + 9 <0$

$\Leftrightarrow -10m + 3 <0$

$\Leftrightarrow m > \dfrac{3}{10}\qquad (**)$

Từ $(*)(**)\Rightarrow m > \dfrac{3}{10}$