Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y= mx^3 − x^2 + 3x + m − 2 đồng biến trên khoảng (-3:0)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Đáp án: $m>0$

Giải thích các bước giải:

Hàm số đồng biến trên khoảng (-3;0) thì 

$\begin{array}{l}
y' > 0\,tren( - 3;0)\\
 \Leftrightarrow 3m{x^2} - 2x + 3 > 0\,tren( - 3;0)\\
 \Leftrightarrow 3m{x^2} > 2x - 3\,tren( - 3;0)\\
 \Leftrightarrow m > \dfrac{{2x - 3}}{{3{x^2}}}\left( {\,tren( - 3;0) \Leftrightarrow {x^2} > 0} \right)\\
 \Leftrightarrow m > f\left( x \right)\,\,tren( - 3;0)\,\\
f\left( x \right) = \dfrac{{2x - 3}}{{3{x^2}}}\,tren( - 3;0)\\
f'\left( x \right) = \dfrac{{6{x^2} - 6x.\left( {2x - 3} \right)}}{{9{x^2}}} = \dfrac{{18 - 6x}}{{9{x^2}}} = 0\\
 \Leftrightarrow x = 3
\end{array}$

=> f(x) nghịch biến trên $\left( {3; + \infty } \right)$ và đồng biến trên $\left( { - \infty ;0} \right);\left( {0;3} \right)$

=> f(x) đồng biến trên (-3;0)

$\begin{array}{l}
\mathop {max}\limits_{\left( { - 3;0} \right)} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{\left( { - 3;0} \right)} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{\left( { - 3;0} \right)} \dfrac{{2x - 3}}{{3{x^2}}} = 0\\
Khi\,m > f\left( x \right)\\
 \Leftrightarrow m > 0\\
Vậy\,m > 0
\end{array}$