tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=x^4-2m^2x^2+m+ 4 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều( đáp án m∈{?;?;?})

Đáp án:

\(m =  \pm \sqrt[6]{3}\)

Giải thích các bước giải:

\(y' = 4{x^3} - 4{m^2}x = 4x\left( {{x^2} - {m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm m\end{array} \right.\)

Với \(m \ne 0\) thì đồ thị hàm số luôn có ba điểm cực trị là \(A\left( {0;m + 4} \right),B\left( {m; - {m^4} + m + 4} \right),C\left( { - m; - {m^4} + m + 4} \right)\)

Khi đó tam giác \(ABC\) đều \( \Leftrightarrow AB = BC \Leftrightarrow A{B^2} = B{C^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} + {\left( { - {m^4}} \right)^2} = {\left( {2m} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {m^2} + {m^8} = 4{m^2} \Leftrightarrow {m^8} = 3{m^2}\\ \Leftrightarrow {m^6} = 3 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt[6]{3}\end{array}\)