Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức P=A.B đạt giá trị nguyên `A=``\frac{\sqrt{x}+10}{\sqrt{x}}`$\\$`B=``\frac\sqrt{x}{\sqrt{x}+2}`

Đáp án:

\(\left[ \begin{array}{l}
x = 36\\
x = 4\\
x = \dfrac{4}{9}
\end{array} \right.\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
DK:x > 0\\
A.B = \dfrac{{\sqrt x  + 10}}{{\sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\\
 = \dfrac{{\sqrt x  + 10}}{{\sqrt x  + 2}} = \dfrac{{\sqrt x  + 2 + 8}}{{\sqrt x  + 2}}\\
 = 1 + \dfrac{8}{{\sqrt x  + 2}}\\
Do:\dfrac{{\sqrt x  + 10}}{{\sqrt x  + 2}} > 0\forall x > 0\\
Do:\sqrt x  > 0\\
 \to \sqrt x  + 2 > 2\\
 \to \dfrac{8}{{\sqrt x  + 2}} \le 4\\
 \to 1 + \dfrac{8}{{\sqrt x  + 2}} < 5\\
 \to 0 < A.B < 5\\
A.B \in Z \to \left[ \begin{array}{l}
\dfrac{{\sqrt x  + 10}}{{\sqrt x  + 2}} = 1\\
\dfrac{{\sqrt x  + 10}}{{\sqrt x  + 2}} = 2\\
\dfrac{{\sqrt x  + 10}}{{\sqrt x  + 2}} = 3\\
\dfrac{{\sqrt x  + 10}}{{\sqrt x  + 2}} = 4
\end{array} \right.\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
\sqrt x  + 10 = \sqrt x  + 2\left( l \right)\\
\sqrt x  + 10 = 2\sqrt x  + 4\\
\sqrt x  + 10 = 3\sqrt x  + 6\\
\sqrt x  + 10 = 4\sqrt x  + 8
\end{array} \right.\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
\sqrt x  = 6\\
2\sqrt x  = 4\\
3\sqrt x  = 2
\end{array} \right.\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
x = 36\\
x = 4\\
x = \dfrac{4}{9}
\end{array} \right.
\end{array}\)