Tìm tất cả các bộ số nguyên dương thỏa mãn phương trình : ` 2x^2 + 2y^2 -5xy + x -2y +3 = 0 `

Lời giải:

PT ⇔2x2+x(3−5y)+(3y2−2y−3)=0(∗)⇔2x2+x(3−5y)+(3y2−2y−3)=0(∗)

Coi đây là pt bậc 22 ẩn xx. Để pt có nghiệm nguyên thì:

Δ=(3−5y)2−8(3y2−2y−3)=t2Δ=(3−5y)2−8(3y2−2y−3)=t2 (t∈Nt∈N )

⇔y2−14y+33=t2⇔y2−14y+33=t2

⇔(y−7)2−16=t2⇔(y−7)2−16=t2

⇔16=(y−7−t)(y−7+t)⇔16=(y−7−t)(y−7+t)

Lập bảng xét TH (nhớ rằng y−7−ty−7−t và y−7+ty−7+t có cùng tính chẵn lẻ và y−7−t≤y−7+ty−7−t≤y−7+t với mọi t∈Nt∈N

để giảm bớt TH cần phải xét)

Khi đó, ta dễ dàng tìm được: y∈{2;3;11;12}y∈{2;3;11;12}

Thay từng giá trị của yy ở trên vào PT (∗)(∗) ta tìm được xx:

y=2⇒x=1y=2⇒x=1

y=3⇒x=3y=3⇒x=3

y=11⇒x=13y=11⇒x=13

y=12⇒x=15

2x2+2y2−5xy+x−2y+3=0

⇔(x−2y)(2x−y)+x−2y+3=0
⇔(x−2y)(2x−y+1)=−3
 x-2y=> -3=> -1=> 1=> 3
2x-y+1| 1 |   3   | -3 | -1
    x      | 1 | 5/3 | -3 | -7/3
    y      | 2 | 4/3 | -2 | -8/3

Vậy (x;y)=(1;2) là bộ nghiệm nguyên dương duy nhất