Tìm Min P=(căn x+1) + 1/ căn x-1 +2 (Dùng cauchy nha mn cảm ơn nhiều ạ)

 `P=sqrtx+1+1/(sqrtx-1)+2đkxđ:x>1`

`=sqrtx-1+1/(sqrtx-1)+4`

Ta có `x>1`

`<=>sqrtx>1`

`<=>sqrtx-1>0`

mà `1>0`

`=>1/(sqrtx-1)>0`

Áp dụng bđt Cosi cho 2 số dương `sqrtx-1, 1/(sqrtx-1)` ta có:

`sqrtx-1+1/(sqrtx-1)>=2sqrt((sqrtx-1).1/(sqrtx-1))=2`

`=>P>=4+2=6`

Dấu `'='` xảy ra `<=>sqrtx-1=1/(sqrtx-1)`

`=>(sqrtx-1)^2=1`

`<=>[(sqrtx-1=-1),(sqrtx-1=1):}`

`<=>[(sqrtx=0),(sqrtx=2):}`

`<=>[(x=0(ktmđk)),(x=4(tmđk)):}`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

 `P=(sqrtx+1)+1/(sqrtx-1)+2` ĐK: `x>1`

   `=sqrtx+1+1/(sqrtx-1)+2`

   `=sqrtx+1/(sqrtx-1)+3`

   `=sqrtx-1+1/(sqrtx-1)+4`

Với `x>1=>sqrtx-1>0`

 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho `2` số dương `(sqrtx-1)` và `1/(sqrtx-1)` có:

 `(sqrtx-1)+1/(sqrtx-1)>=2sqrt{(sqrtx-1). 1/(sqrtx-1)}=2`

 `=>sqrtx-1+1/(sqrtx-1)+4>=2+4=6`

hay `P>=6`

 Dấu `=` xảy ra khi: `sqrtx-1=1/(sqrtx-1)`

                          `=>(sqrtx-1)^2=1`

                          `<=>sqrtx-1=+-1`

     `TH1: sqrtx-1=1`

      `<=>sqrtx=2`

     `<=>x=4 (TM)`

    `TH2: sqrtx-1=-1`

     `<=>sqrtx=0`

     `<=>x=0 (loại)`

 Vậy `P_{MIN}` là `6` khi `x=4`