Tìm M thuộc d kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C) y=$x^{3}$-6$x^{2}$ +9x-1; d:x=2

Đáp án:

Từ $M$ bất kì thuộc $d: x = 2$ kẻ được duy nhất một tiếp tuyến đến $(C)$

Giải thích các bước giải:

Gọi $M(2;b)\in d$

Phương trình đường thẳng đi qua $M(2;b)$ có dạng:

$\Delta: y = k(x - 2) + b$ với $k$ là hệ số góc của $\Delta$

Khi đó, $\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)$

$\Leftrightarrow \begin{cases}k = y'\\\exists N = \Delta \cap (C)\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}k = 3x^2 - 12x + 9\\x^3 - 6x^2 + 9x - 1 = (3x^2 - 12x + 9)(x-2) + b\quad \text{có nghiệm}\end{cases}$

$\Leftrightarrow -2x^3 + 12x^2 - 24x + 17 = b\quad (*)\ \ \ \text{có nghiệm}$

Xét $g(x) = -2x^3 + 12x^2 - 24x + 17$

$\Rightarrow g'(x) = - 6x^2 + 24x - 24 \leqslant 0\quad \forall x\in\Bbb R$

$\Rightarrow g(x)$ nghịch biến trên $\Bbb R$

$\Rightarrow (*)$ có nghiệm duy nhất

$\Rightarrow$ có đúng một tiếp tuyến kẻ từ $M\in d: x = 2$ đến $(C)$