Tìm M thuộc d kẻ đúng 1 tiếp tuyến với (C) (C): y=$\frac{x+3}{x-1}$ (d) y=2x+1

Đáp án:

$M(-1;-1),\ M(0;1),\ M(1;3),\ M(2;5)$ 

Giải thích các bước giải:

Gọi $M(m;2m+1)\in d$

Phương trình đường thẳng đi qua $M$ với hệ số góc $k$ có dạng:

$\Delta: y = k(x- m) + 2m + 1$

Phương trình hoành độ giao điểm giữa $\Delta$ và $(C)$

$k(x- m) + 2m + 1 = \dfrac{x+3}{x-1}$

$\Leftrightarrow kx^2  - [(m+1)k  - 2m]x + mk - 2m - 4 = 0\qquad (*)$

$\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)$

$\Leftrightarrow (*)$ có nghiệm kép

$\Leftrightarrow \begin{cases}k \ne 0\\\Delta_{(*)} = 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}k \ne 0\\(m-1)^2k^2 - 4(m^2 - m - 4)k + 4m^2 = 0\qquad (**)\end{cases}$

$\Delta$ là tiếp tuyến duy nhất kẻ từ $M$

$\Leftrightarrow (**)$ có đúng 1 nghiệm $k \ne 0$

$+)\quad (**)$ là phương trình bậc hai có một nghiệm $k = 0$

$\Leftrightarrow (m-1)^2.0^2 - 4(m^2 - m - 4).0 + 4m^2 = 0$

$\Leftrightarrow m = 0$

$\Rightarrow M(0;1)$

$+)\quad (**)$ là phương trình bậc hai có nghiệm kép khác $0$

$\Leftrightarrow \begin{cases}(m-1)^2.0^2 - 4(m^2 - m - 4).0 + 4m^2 \ne 0\\\Delta_{(**)}' = 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m \ne 0\\4(m^2 - m - 4)^2 - 4m^2(m-1)^2 = 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m\ne 0\\m^2 - m - 2 =0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = - 1\\m = 2\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}M(-1;-1)\\M(2;5)\end{array}\right.$

$+)\quad (**)$ là phương trình bậc nhất có nghiệm $k\ne 0$

$\Leftrightarrow m = 1$, thay vào $(**)$ ta được:

$16k + 4 = 0 \Leftrightarrow k = -\dfrac14$ (nhận)

Do đó: $m = 1 \Rightarrow M(1;3)$

Vậy $M(-1;-1),\ M(0;1),\ M(1;3),\ M(2;5)$