Tìm m nguyên thuộc (-10,10) để y=|x|^3-3mx^2+3(m^2-4)|x|+1 có 5 cực trị

Đáp án:

$m \in \{3;4;5;6;7;8;9\}$ 

Giải thích các bước giải:

$\quad y = f(|x|) = |x|^3 - 3mx^2 + 3(m^2 - 4)|x| + 1$

Hàm số có `5` điểm cực trị

$\Leftrightarrow y = f(x)$ có `2` điểm cực trị dương

Ta có: $y = f(x) = x^3 - 3mx^2 + 3(m^2 -4)x + 1$

$y' = 3x^2 - 6mx + 3(m^2 - 4)$

$y' = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2mx + (m^2 - 4) = 0$

Hàm số có `2` điểm cực trị dương $x_1,\ x_2$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x_1 + x_2 >0\\x_1x_2 >0\end{cases}$ (Theo định lý Viète)

$\Leftrightarrow \begin{cases}2m > 0\\m^2 - 4 >0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m >0\\\left[\begin{array}{l}m >2\\m < -2\end{array}\right.\end{cases}$

$\Leftrightarrow m >2$

Ta lại có: $m\in (-10;10);\ m\in\Bbb Z$

$\Rightarrow m \in \{3;4;5;6;7;8;9\}$

Vậy $m \in \{3;4;5;6;7;8;9\}$

_____________________________________________________________________________

Đồ thị hàm số $y = f(|x|)$ gồm hai phần:

- Phần 1: phần đồ thị $y= f(x)$ nằm bên phải trục $Oy$

- Phần 2: phần đối xứng phần 1 qua trục $Oy$

Do đó, số điểm cực trị $y= f(|x|)$ gấp `2` lần số điểm cực trị dương của $y = f(x)$ và cộng thêm `1`

Vậy $y = f(|x|)$ có `5` điểm cực trị $\Leftrightarrow y = f(x)$ có $\dfrac{5-1}{2} = 2$ điểm cực trị dương