Tìm m để y= m(x^2 +1/ x^2) + 2(x- 1/x)+4 đồng biến trên( 1; 3)

Đáp án:

$m \geq - \dfrac{3}{2}$

Giải thích các bước giải:

$y = m\left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) + 2\left(x - \dfrac{1}{x}\right) + 4$

$TXĐ: D = R\backslash\left\{0\right\}$

Đặt $t = x - \dfrac{1}{x}$

$\Rightarrow t^2 = x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 2$

$\Rightarrow t^2 + 2 = x^2 + \dfrac{1}{x^2}$

$\Rightarrow y = m(t^2 + 2) + 2t + 4$

$\Rightarrow y = mt^2 + 2t + 2m + 4$

$+) \quad m = 0 \Rightarrow y = 2t + 4$

$\Rightarrow y$ đồng biến trên từng khoảng xác định

$\Rightarrow y$ đồng biến trên $(1;3)$

$+) \quad m \ne 0$

$y' = 2mt + 2$

Hàm số đồng biến trên $(1;3)$

$\Leftrightarrow y' \geq 0,\, \forall x \in (1;3)$

$\Leftrightarrow mt + 1 \geq 0, \, \forall t \in \left(0;\dfrac{2}{3}\right)$

$\Leftrightarrow m \geq - \dfrac{1}{t}, \, \forall t \in \left(0;\dfrac{2}{3}\right)$

$\Leftrightarrow m \geq \mathop{\max}\limits_{t \in \left(0;\dfrac{2}{3}\right)}\left(- \dfrac{1}{t}\right)$

Xét $g(t) = - \dfrac{1}{t}$ trên $ \left(0;\dfrac{2}{3}\right)$

$\Rightarrow g'(t) = \dfrac{1}{t^2} > 0,\, \forall t \in \left(0;\dfrac{2}{3}\right)$

Bảng biến thiên:

$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty &&0 & & & & & \dfrac{2}{3}& &+\infty\\
\hline
g'(t) & & + & ||& &  & + &  & |&+& &\\
\hline
&&&||&&&&&-\dfrac{3}{2}\\
g(t) & &&||&&&\nearrow& && & &\\
&&&||\\
\hline
\end{array}$

Dựa vào bảng biến thiên, ta được:

$m \geq \mathop{\max}\limits_{t \in \left(0;\dfrac{2}{3}\right)}\left(- \dfrac{1}{t}\right)$

$\Leftrightarrow m \geq - \dfrac{3}{2}$

Vậy $m \geq - \dfrac{3}{2}$