tìm m=? để tiếp tuyến của (C) y= $x^{3}$ -2$x^{2}$ +(m-1)x+2m có hệ số góc min vuông với y=-x

Đáp án:

 `m=10/3`

Giải thích các bước giải:

`y'=3x^2-4x+m-1`

Suy ra hệ số góc tại `M(x_0;y_0)inC` là:

`k=f'(x_0)=3x_0^2-4x_0+m-1=3(x-2/3)^2+m-7/3geqm-7/3`

YCBT`<=>`$k_{\min}.(-1)=-1$`<=>k_min=1`

`<=>m-7/3=1`

`<=>m=10/3`

Vậy `m=10/3` thỏa mãn yêu cầu bài toán.

$y'=3x^2-4x+m-1$

Xét hàm $f(x)=3x^2-4x+m-1$

$f'(x)=6x-4$

$f'(x)=0\to x=\dfrac{2}{3}$

Từ BBT, suy ra hàm số $f(x)$ có giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$ là $f\Big(\dfrac{2}{3}\Big)$

$\to y'$ đạt GTNN tại $x=\dfrac{2}{3}$, khi đó $y'=m-\dfrac{7}{3}$

Tiếp tuyến vuông góc với $y=-x$ nên ta có:

$\Big(m-\dfrac{7}{3}\Big).(-1)=-1$

$\to m=\dfrac{10}{3}$