tìm m để pt 4^x - m2^x +2m -5 = 0 có hai nghiệm trái dấu

Giải thích các bước giải:

Đặt t=2^x (t>0) khi đó phương trình đã cho trở  thành

\[{t^2} - mt + 2m - 5 = 0          (1)\]

Phương trình đã cho có 2  nghiệm khi và chỉ khi pt (1) có 2 nghiệm lớn hơn 0

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 4\left( {2m - 5} \right) > 0\\
{t_1} + {t_2} > 0\\
{t_1}.{t_2} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 8m + 20 > 0\\
m > 0\\
2m - 5 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{5}{2}\]

Lại có:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x < 0 \Rightarrow 0 < t < 1\\
x > 0 \Rightarrow t > 1
\end{array} \right.\]

Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi phương trình (1) có 1 nghiệm >1 và 1 nghiệm <1 

Suy ra 

\[\begin{array}{l}
\left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) < 0\\
 \Leftrightarrow {t_1}{t_2} - \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 1 < 0\\
 \Leftrightarrow 2m - 5 - m + 1 < 0\\
 \Leftrightarrow m < 4\\
 \Rightarrow \frac{5}{2} < m < 4
\end{array}\]