Tìm `m` để HS `y=-x⁴ -2mx²` ĐB trên `(-\infty;-2)`

Đáp án:

$m \ge -4$

Giải thích các bước giải:

$y=-x^4-2mx^2\\ y'=-4x^3-4xm\\ =-4x(x^2+m)$

$y$ đồng biến trên $(-\infty; -2)$

$\Rightarrow y' \ge 0 \ \forall \ x \in (-\infty; -2) \\ \Leftrightarrow -4x(x^2+m) \ge 0 \ \forall \ x \in (-\infty; -2) \\ \Leftrightarrow x^2+m \ge 0 \ \forall \ x \in (-\infty; -2) (Do \ \ -4x>0 \ \forall \ x \in (-\infty; -2) )\\ \Leftrightarrow m \ge -x^2 \ \forall \ x \in (-\infty; -2) \\ \Leftrightarrow m \ge max_{-x^2} \ \forall \ x \in (-\infty; -2) \\ g(x)=-x^2\\ g'(x)=-2x >0 \ \forall \ x \in (-\infty; -2)$

$\Rightarrow g'(x)$ đồng biến trên $(-\infty; -2)$

$\Rightarrow max_{g(x)}=g(-2)=-4\\ \Rightarrow m \ge -4$

Đáp án: $m\ge -4$