Tìm m để HS y=x³+mx²-x+m nghịch biến trên khoảng (1;2)

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$\begin{array}{l}
y = {x^3} + m{x^2} - x + m\\
 \Rightarrow y' = 3{x^2} + 2mx - 1
\end{array}$

Để $y' < 0,\forall x \in \left( {1;2} \right)$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 3{x^2} + 2mx - 1 < 0,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\
 \Leftrightarrow 2mx < 1 - 3{x^2},\forall x \in \left( {1;2} \right)\\
 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{{2x}} - \dfrac{{3x}}{2},\forall x \in \left( {1;2} \right)\\
 \Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{x \in \left( {1;2} \right)} \left( {\dfrac{1}{{2x}} - \dfrac{{3x}}{2}} \right)\left( 1 \right)
\end{array}$

Đặt $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{2x}} - \dfrac{{3x}}{2},x \in \left( {1;2} \right)$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 1}}{{2{x^2}}} - \dfrac{3}{2} < 0,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\
 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{x \in \left( {1;2} \right)} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = \dfrac{{ - 11}}{4}\left( 2 \right)
\end{array}$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow m < \dfrac{{ - 11}}{4}$

Vậy $m < \dfrac{{ - 11}}{4}$ thỏa mãn đề.