Tìm `m` để HS `y=x³ -6x² +3(m+2)x -m-6` có 2 cực trị cùng dấu

Đáp án:$ - 2 < m < 2$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
y = {x^3} - 6{x^2} + 3\left( {m + 2} \right)x - m - 6\\
 \Leftrightarrow y' = 3{x^2} - 12x + 3\left( {m + 2} \right)
\end{array}$

2 điểm cực trị là 2 nghiệm của pt:

$\begin{array}{l}
y' = 0\\
 \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x + 3\left( {m + 2} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + m + 2 = 0\left( * \right)
\end{array}$

Để 2 cực trị cùng dấu thì pt * có 2 nghiệm cùng dấu

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
{x_1} + {x_2} > 0\\
{x_1}{x_2} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4 - m - 2 > 0\\
4 > 0\\
m + 2 > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 2\\
m >  - 2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow  - 2 < m < 2\\
Vậy\, - 2 < m < 2
\end{array}$

$y'=3x^2-12x+3(m+2)$

Điều kiện có hai cực trị cùng dấu:

$\begin{cases} \Delta'=36-9(m+2)>0\\ x_{CĐ}.x_{CT}=\dfrac{3(m+2)}{3}>0\end{cases}$ 

$\to \begin{cases} -9m+18>0\\ m+2>0\end{cases}$

$\to \begin{cases} m<2\\ m>-2\end{cases}$

Vậy $-2<m<2$