Tìm `m` để hs `y=-1/3 x³ +x² +(3m+2)x +m -3` đồng biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn `4`.

Đáp án:

$m \in \left(-1;\dfrac13\right)$

Giải thích các bước giải:

$\quad y = -\dfrac{1}{3}x^3 + x^2 + (3m+2)x + m - 3$

$\to y' = -x^2 + 2x + 3m + 2$

Hàm số có khoảng đồng biến

$\Leftrightarrow \Delta_{y'}' > 0$

$\Leftrightarrow 1 + 3m + 2 >0$

$\Leftrightarrow m > -1$

Với $x_1; x_2$ là hai điểm cực trị của hàm số

$\Rightarrow x_1;\ x_2$ là nghiệm của phương trình $y' = 0$

Áp dụng định lý Viète ta được:

$\begin{cases}x_1 + x_2 = -2\\x_1x_2 = -3m - 2\end{cases}$

Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn $4$

$\Leftrightarrow |x_1 - x_2| < 4$

$\Rightarrow (x_1 - x_2)^2 < 16$

$\Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 < 16$

$\Leftrightarrow 4 - 4(-3m -2) < 16$

$\Leftrightarrow m < \dfrac13$

Vậy $m \in \left(-1;\dfrac13\right)$