Tìm m để hs luôn có cực trị : y= mx mũ 3 - x mũ 2 +2m mũ2 x +2m -3

Đáp án:

Giải thích các bước giải: Ta có: \(y' = 3m{x^2} - 2x + 2{m^2}\) Nếu \(m = 0\) thì \(y = - {x^2} - 3\) là hàm số bậc hai nên luôn có cực trị. Nếu \(m \ne 0\) thì hàm số luôn có cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta ' = 1 - 3m.2{m^2} > 0\\ \Leftrightarrow 1 - 6{m^3} > 0 \Leftrightarrow {m^3} < \frac{1}{6}\\ \Leftrightarrow m < \frac{1}{{\sqrt[3]{6}}}\end{array}\) Vậy \(m < \frac{1}{{\sqrt[3]{6}}}\)

\[\begin{array}{l} y = m{x^3} - {x^2} + 2{m^2}x + 2m - 3\\ \Rightarrow y' = 3m{x^2} - 2x + 2{m^2}\\ \Rightarrow y' = 0\\ \Leftrightarrow 3m{x^2} - 2x + 2{m^2} = 0\,\,\left( * \right)\\ TH1:\,\,Hs\,\,luon\,\,co\,\,\,cuc\,\,tri \Leftrightarrow \left( * \right)\,\,\,co\,\,2\,\,nghiem\,\,phan\,\,biet\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ \Delta ' > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ 1 - 6{m^3} > 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ {m^3} < \frac{1}{6} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ m < \frac{1}{{\sqrt[3]{6}}} \end{array} \right..\\ TH2:\,\,m = 0\\ \Rightarrow y = - {x^2} - 3\,\,\,la\,\,\,ham\,\,so\,\,bac\,\,\,hai\,\,co\,\,1\,\,cuc\,\,\,tri.\\ Vay\,\,m < \frac{1}{{\sqrt[3]{6}}}\,\,\,thoa\,\,\,man\,\,bai\,\,toan.\, \end{array}\]