Tìm m để hàm số y= $\frac{x^3}{3}$ +$2x^{2}$ - (2m-3)-$m^{2}$ đồng biến trên (2; +∞). Giải giúp mình với , sẵn tiện chỉ mình cách bấm máy tìm giá trị m nha!!)

Đáp án:

$m \leq \dfrac{15}{2}$

Giải thích các bước giải:

$y = \dfrac{1}{3}x^3 + 2x^2 - (2m -3)x - m^2$

$TXD: D = R$

$y' = x^2 + 4x - 2m + 3$

Hàm số đồng biến trên $(2;+\infty)$

$\Leftrightarrow y' \geq 0, \, \forall x \in (2;+\infty)$

$\Leftrightarrow x^2 + 4x - 2m + 3 \geq 0, \, \forall x \in (2;+\infty)$

$\Leftrightarrow m \leq \dfrac{x^2 + 4x + 3}{2}$

$\Leftrightarrow m \leq \mathop{\min}\limits_{x \in (2;+\infty)}\left(\dfrac{1}{2}x^2 + 2x + \dfrac{3}{2}\right)$

Xét $g(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 2x + \dfrac{3}{2}$ trên $(2;+\infty)$

$\Rightarrow g'(x) = x + 2$

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -2 \not\in (2;+\infty)$

$\Rightarrow \min g(x) = g(2) = \dfrac{15}{2}$

Vậy $m \leq \dfrac{15}{2}$