Tìm m để hàm số y=(m-1)sinx+(2m+7)x đồng biến trên R

Đáp án:

 $m \in [-2;+\infty)$

Giải thích các bước giải:

 $y= (m-1) \sin x +(2m +7) x$

Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$

$\Leftrightarrow y' \ge 0$

$\Leftrightarrow (m-1)\cos x +2m+7 \ge 0$

$\Leftrightarrow m \cos x - \cos x + 2m +7 \ge 0$

$\Leftrightarrow m \ge \dfrac{\cos x - 7}{\cos x +2}$

$\Longrightarrow m \ge \text{Max} \dfrac{\cos x - 7}{\cos x +2}=-2$

(use mode 7- table) 

$\to m \in [-2;+\infty)$

$y'=(m-1)\cos x+2m+7$

ĐK: $y'\ge 0\forall x$

- Với $m=1$:

$y'=9>0$ (TM)

- Với $m>1$:

$y'\ge 0\to \cos x\ge \dfrac{-2m-7}{m-1}$ (*)

(*) luôn đúng khi $\dfrac{-2m-7}{m-1}\le -1$

$\to \dfrac{-2m-7+m-1}{m-1}\le 0$

$\to \dfrac{m+8}{m-1}\ge 0$ 

$\to m>1$ 

- Với $m<1$:

$y'\ge 0\to \cos x\le \dfrac{-2m-7}{m-1}$ (**)

(**) luôn đúng khi $\dfrac{-2m-7}{m-1}\ge 1$

$\to \dfrac{-2m-7-m+1}{m-1}\ge 0$

$\to \dfrac{3m+6}{m-1}\le 0$

$\to -2\le m<1$

Kết hợp, ta có $m\ge -2$

Vậy $m\in [-2;+\infty)$