Tìm m để hàm số y= (cosx -2)/ (cosx-m) nghịch biến trên (0, π/2)? giúp mình với ạ

Đáp án:

$y=\dfrac{\cos x-2}{\cos x-m}$

$\to y'=\dfrac{\sin x(m-2)}{(\cos x-m)^2}$

Để hàm số $y=\dfrac{\cos x-2}{\cos x-m}$ nghịch biến trên $\bigg(0;\dfrac{\pi}2\bigg)$

$\to y'<0 \; \forall x\in \bigg(0;\dfrac{\pi}2\bigg)$

$\to$ $\displaystyle\left \{ {{m\not\in(0;1)} \atop {m-2<0}} \right.$ 

\(\to \left[ \begin{array}{l}m\geqslant 0\\1\leqslant m<2\end{array} \right.\)

Đáp án:

$m>2$

Lời giải:

Đặt $t = \cos x$, $x\in(0;\dfrac{\pi}{2})$ khi đó $t\in(0; 1)$.

Ta có

$y = \dfrac{t-2}{t-m}$

Suy ra

$y' = \dfrac{t-m - (t-2)}{(t-m)^2} = \dfrac{2-m}{(t-m)^2}$

Đề hàm số nghịch biến trên $(0;1)$ thì

$\begin{cases}2-m < 0\\m\notin(0;1)\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases} m>2\\\left[\begin{array}{I}m\ge1\\m\le0\end{array}\right.\end{cases}$

$\Leftrightarrow m > 2$

Vậy $m > 2$.