Tìm `m` để `(C): y= x³ -3x²+2` cắt đt `(d): y=mx -m` tại 3 điểm phân biệt có hoành độ `x_1,x_2,x_3` thoả mãn: `x_2^2 + x_2^2 +x_3^2 =5`

Đáp án:

$m = -2$

Giải thích các bước giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\quad x^3 - 3x^2 + 2 = mx - m$

$\Leftrightarrow (x-1)(x^2- 2x -2) = m(x-1)$

$\Leftrightarrow (x-1)(x^2 - 2x - m - 2)= 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 1\\x^2 - 2x - m - 2 = 0\qquad (*)\end{array}\right.$

$d$ cắt $(C)$ tại $3$ điểm phân biệt khi $(*)$ có $2$ nghiệm phân biệt khác $1$

$\Leftrightarrow \begin{cases}1^2 - 2.1 - m - 2\ne 0\\\Delta' = 1 + 4(m+2) > 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m \ne -3\\m > -\dfrac94\end{cases}$

Giả sử $x_1= 1$

Khi đó $x_2;\ x_3$ là hai nghiệm phân biệt của $(*)$

Áp dụng định lý Viète ta được:

$\begin{cases}x_2 + x_3 = 2\\x_2x_3 = - m - 2\end{cases}$

Ta có:

$\quad x_1^2+x_2^2 + x_3^2 = 5$

$\Leftrightarrow 1^2 + (x_2+x_3)^2 - 2x_2x_3 = 5$

$\Leftrightarrow 1 + 2^2 + 2(m+2) = 5$

$\Leftrightarrow m = -2$ (nhận)

Vậy $m = -2$