tìm m để (C):y= $x^{3}$ -3x+1 cắt (d):y=mx+m+3 tại A(-1;3) và B;C sao cho tiếp tuyến tại B vuông với tiếp tuyến tại C

Phương trình hoành độ giao:

$x^3-3x+1=mx+m+3$

$\to x^3-(m+3)x-m-2=0$

$\to (x+1)(x^2-x-m-2)=0$

$\to x=-1$ hoặc $x^2-x-m-2=0$

Để $(C)$ cắt $(d)$ tại ba điểm phân biệt thì $x^2-x-m-2=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1$.

Hai nghiệm phân biệt $\to \Delta>0\to 1+m+2>0\to m>-3$

Hai nghiệm khác $-1\to 1+1-m-2\ne 0\to m\ne 0$

Suy ra ĐK: $m\in (-3;0)\cup(0;+\infty)$

Đặt $x_B=x_1; x_C=x_2$

Theo Viet: $x_1+x_2=1; x_1x_2=-m-2$

$y= x^3-3x+1\to y'=3x^2-3$

Hai tiếp tuyến vuông góc nên $y'(x_1).y'(x_2)=-1$

$\to (3x_1^2-3)(3x_2^2-3)=-1$

$\to 9(x_1x_2)^2-9x_1^2-9x_2^2+9=-1$

$\to 9(x_1x_2)^2-9[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]+10=0$

$\to 9(m+2)^2-9(1+2m+4)+10=0$

$\to 9m^2+36m+36-18m-45+10=0$

$\to m=\dfrac{-3\pm2\sqrt2}{2}$ (TM)