Tìm m để (C):y=$\frac{2x-1}{x-1}$ ∩y=x+m tại A,B sao cho ΔOAB vuông ở O

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

ĐK: `x \ne 1`

Xét hoành độ giao điểm của `(C)` và `(d)` ta có:

`\frac{2x-1}{x-1}=x+m`

`⇔ (x+m)(x-1)=2x-1`

`⇔ x^2+mx-3x-m+1=0`

`⇔ x^2+(m-3)x-m+1=0\ (1)` với `x \ne 1`

Để hàm số cắt tại 2 điểm A và B

`⇔` PT `(1)` tại 2 nghiệm phân biệt với `x \ne 1`

`Δ>0`

`⇔ (m-3)^2-4.(-m+1)>0`

`⇔ m^2-6m+9+4m-4>0`

`⇔ m^2-2m+5>0`

`⇔ (m-1)^2+4 \ge 4 >0 \forall m`

`⇒` PT luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-et, ta có:

\(\begin{cases} x_1+x_2=3-m\\x_1 x_2=1-m\end{cases}\)

Gọi `A(x_1,x_1+m);B(x_2,x_2+m)`

`⇒ \vec{OA}=(x_1,x_1+m)`

`\vec{OB}=(x_2,x_2+m)`

Ta có: `ΔOAB` vuông tại O

`⇔ \vec{OA}.\vec{OB}=0`

`⇔ x_1 x_2+(x_1+m)(x_2+m)=0`

`⇔ x_1 x_2+x_1 x_2+x_1 m+x_2 m+m^2=0`

`⇔ 2x_1 x_2+m(x_1+x_2)+m^2=0`

`⇔ 2(1-m)+m(3-m)+m^2=0`

`⇔ 2-2m+3m-m^2+m^2=0`

`⇔ m+2=0`

`⇔ m=-2`

Vậy `m=-2` thì đồ thị cắt tại A,B sao cho ΔOAB vuông ở O

Đáp án:

 `m=-2`

Giải thích các bước giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: `(2x-1)/(x-1)=x+m(xne1)`

`<=>2x-1=(x-1)(x+m)`

`<=>2x-1=x^2+mx-x-m`

`<=>x^2+(m-3)x+1-m=0` `(1)`

Để `(C)` cắt `d` tại hai điểm phân biệt A, B

`⇔` `(1)` phải có hai nghiệm phân biệt

`⇔Δ=(m-3)^2-4(1-m)>0`

`⇔m^2-2m+5>0∀m∈RR`

Gọi `x_1,x_2` là hai nghiệm của `(1)`. Theo Viét ta có: $\begin{cases} x_1+x_2=3-m\\x_1x_2=1-m\\ \end{cases}$

Khi đó: `A(x_1;x_1+m)` và `B(x_2;x_2+m)`

Yêu cầu bài toán `<=>vec(OA).vec(OB)=0`

`<=>x_1x_2+(x_1+m)(x_2+m)=0`

`<=>2x_1x_2+m(x_1+x_2)+m^2=0`

`<=>2(1-m)+m(3-m)+m^2=0`

`<=>m+2=0`

`<=>`$m=-2$

Vậy $m=-2$