Tìm GTNN : `P=1/(x^3 (y+z))+1/(y^3 (z+x))+1/(z^3 (x+y))`
2 câu trả lời
Đặt `a=1/x,b=1/y,c=1/z(a,b,c>0)`
`->abc=1/(xyz)=1/1=1`
Lại có :
`y+z=1/b +1/c, x+z=1/a+1/c, x+y=1/a+1/b`
`P=(1/x^3)/(y+z) + (1/y^3)/(x+z) + (1/z^3)/(x+y)`
`= (a^3)/(1/b+1/c)+b^3/(1/a+1/c)+c^3/(1/a+1/b)`
`= (a^3)/(a(b+c)) + b^3/(b(c+a)) +c^3/(c(a+b))`
`=a^2/(b+c)+b^2/(a+c)+c^2/(a+b)`
Áp dụng BĐT Cộng mẫu ta được :
`P>= (a+b+c)^2/(2(a+b+c)) = (a+b+c)/2`
Áp dụng BĐT Cô-si ta được :
`a+b+c` $\ge 3\sqrt[3]{abc}=3$
`->P>= 3/2`
Dấu "`=`" xảy ra khi : `a=b=c<=>x=y=z=1`
Vậy `min P=3/2<=>x=y=z=1`
Đáp án:
GTNN của $P$ là `3/2` khi $x=y=z=1$
Giải thích các bước giải:
$xyz=1\Rightarrow P=\dfrac{z^2y^2}{x(z+y)}+\dfrac{x^2z^2}{y(x+z)}+\dfrac{x^2y^2}{z(x+y)}$
Áp dụng Titu's Lemma, ta có:
$P=\dfrac{z^2y^2}{x(z+y)}+\dfrac{x^2z^2}{y(x+z)}+\dfrac{x^2y^2}{z(x+y)}\ge\dfrac{(xy+yz+zx)^2}{2(xy+yz+zx)}=\dfrac{xy+yz+zx}{2}$
Áp dụng AM-GM, ta lại có:
$P=\dfrac{xy+yz+zx}{2}\ge\dfrac{3.\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}{2}=\dfrac{3}{2}$
Dấu "$=$" xảy ra khi $x=y=z=1$
Vậy GTNN của $P$ là `3/2` khi $x=y=z=1$
- Đề thi học kì 2 môn địa 9 có lời giải chi tiết
- Đề thi học kì 2 môn địa 9 có lời giải chi tiết
- Đề thi học kì 2 môn địa 9 có lời giải chi tiết
- Đề thi học kì 2 môn địa 9 có lời giải chi tiết giúp các em luyện tập và củng cố kiến thức hiệu quả
- Kiểm tra 15 phút lần 1 học kì 1 - đề số 5 Địa 9 có lời giải chi tiết
