Tìm GTLN,GTNN của hàn số y=sin^3 x-3sin^2 x-3

Đáp án:

$\begin{array}{l}
y = {\sin ^3}x - 3{\sin ^2}x - 3\\
\text{Đặt}:\sin x = t \Rightarrow  - 1 \le t \le 1\\
 \Rightarrow y = {t^3} - 3{t^2} - 3\\
 \Rightarrow y' = 3{t^2} - 6t = 0\\
 \Rightarrow 3t\left( {t - 2} \right) = 0\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 0\\
t = 2\left( {ktm} \right)
\end{array} \right.\\
 + Khi:t = 0 \Rightarrow y =  - 3\\
 + Khi:t =  - 1 \Rightarrow y =  - 7\\
 + Khi:t = 1 \Rightarrow y =  - 5\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
GTLN:y =  - 3\\
GTNN:y =  - 7
\end{array} \right.
\end{array}$

Đặt $sinx=t → t∈[-1;1]$

Yêu cầu bài toán tương đương tìm GTLN và GTNN của hàm số $y=t^3-3t^2-3$ trên đoạn $[-1;1]$

Ta có: $y'=3t^2-6t$

$→ y'=0 ↔ \left[ \begin{array}{l}t=2\\t=0\end{array} \right.$

Lập bảng biến thiên trên đoạn $[-1;1]$, từ bảng biến thiên ta suy ra:

Hàm số đạt GTNN tại $x=-1$, khi đó GTNN bằng $-7$

Hàm số đạt GTLN tại $x=0$, khi đó GTLN bằng $-3$

Vậy GTNN của hàm số đã cho là $-7$, GTLN là $-3$.