Tìm GTLN GTNN của hàm số $\sqrt[]{2+x}+\sqrt[]{4-x}$

Đáp án:

\(min_{[-2;4] } f(x)=\sqrt{6}\)

\(max_{[-2;4]} f(x)=2\sqrt{3}\)

Giải thích các bước giải:

 ĐK: 

$\begin{cases}2+x \geq 0\\4-x \geq 0\end{cases}$

\(\Leftrightarrow \) $\begin{cases}x \geq -2\\x \leq 4\end{cases}$

\(\Leftrightarrow -2 \leq x \leq 4\)

\(D=[-2;4]\)

\(y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}}-\dfrac{1}{2\sqrt{4-x}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{4-x}-\sqrt{x+2}}{2\sqrt{x+2}.\sqrt{4-x}}\) \(\forall x \neq -2; x \neq 4\)

Cho \(y'=0\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{4-x}=\sqrt{x+2}\)

\(\Leftrightarrow 4-x-x-2=0\)

\(\Leftrightarrow x=1 \epsilon [-2;4]\)

Xét \(y=f(x)=\sqrt{2+x}+\sqrt{4-x}\) trên \([-2;4]\)

\(f(-2)=\sqrt{6}\)

\(f(4)=\sqrt{6}\)

\(f(1)=2\sqrt{3}\)

Vậy \(min_{[-2;4]} f(x)=\sqrt{6}\)

\(max_{[-2;4]} f(x)=2\sqrt{3}\)