tìm `gtln` của `M=\frac{2x+1}{x^2+2}`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Xét hiệu `M-  1`

`-> M -1= (2x+1)/(x^2+2) - 1 = (2x+1)/(x^2+2) - (x^2+2)/(x^2+2) = (2x+1-x^2-2)/(x^2+2)`

`-> M -1 = (-x^2+2x-1)/(x^2+2) = (-(x^2-2x+1))/(x^2+1) = (-(x-1)^2)/(x^2+1) \le 0 AA x`

`-> M \le 1 AA x`

Dấu `=` xảy ra :

`<=> x-1 =0`

`<=> x =1`

Vậy Max `M =1 <=> x =1`

`M=(2x+1)/(x^2+2)`

`M=(2x+1)/(x^2+2)=(2x+1)/(x^2+2)-1+1=(2x+1-x^2-2)/(x^2+2)+1`

`=(2x+1-x^2-2)/(x^2+2)+1=(-x^2+2x-1)/(x^2+2)+1=(-(x^2-2x+1))/(x^2+2)+1`

`=(2x+1-x^2-2)/(x^2+2)+1=(-x^2+2x-1)/(x^2+2)+1=(-(x-1)^2)/(x^2+2)+1`

Ta có :

`x^2+2` luôn dương `∀x`

`(x-1)^2` luôn dương `∀x`

`=>((x-1)^2)/(x^2+2)>=0∀x`

`<=>(-(x-1)^2)/(x^2+2)<=0`

`<=>(-(x-1)^2)/(x^2+2)+1<=1∀x`

Dấu "=" xảy ra khi `(x-1)^2=0<=>x=1`

`text(Vậy )` `MaxM=1<=>x=1`